一般項と部分和をリアルタイムで表示
| n | a(n) | S(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 5 |
| 3 | 7 | 12 |
| 4 | 10 | 22 |
| 5 | 13 | 35 |
| 6 | 16 | 51 |
| 7 | 19 | 70 |
| 8 | 22 | 92 |
| 9 | 25 | 117 |
| 10 | 28 | 145 |
等差数列は隣り合う項の差が一定の数列、等比数列は隣り合う項の比が一定の数列です。それぞれ公式を使って一般項と和を求めます。
【等差数列】
一般項: a(n) = a₁ + (n-1) × d
和: S(n) = n/2 × {2a₁ + (n-1)d}
【等比数列】
一般項: a(n) = a₁ × r^(n-1)
和: S(n) = a₁ × (r^n - 1) / (r - 1) (r ≠ 1)
等差数列の和は「(初項+末項)×項数÷2」でも求められます。等比数列は公比の絶対値が1より小さい場合、無限級数の和も求められます。
Q. フィボナッチ数列とは何ですか？
A. フィボナッチ数列は、前の2つの項を足して次の項を作る数列です（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...）。等差数列や等比数列とは異なる漸化式で定義されますが、自然界に多く見られる重要な数列です。
Q. 数列は実生活でどう役立ちますか？
A. 等差数列はローンの均等返済計画に、等比数列は複利計算や人口増加モデルに応用されます。また、プログラミングのアルゴリズム分析でも数列の概念は頻繁に使われます。
有名な数学の逸話として、少年時代のガウスが「1から100までの整数の和」を瞬時に求めた話があります。等差数列の和の公式 S = n(n+1)/2 を直感的に理解していたとされ、1+100=101、2+99=101...と50組作って101×50=5050と計算しました。
数列は金融計算でも重要です。毎月一定額を積み立てる場合は等差数列、複利で運用する場合は等比数列の考え方が基礎になります。年金現価係数や減債基金係数なども、等比数列の和の公式から導出されます。